Vamos ver se se consegue ajudar.
Note que não tenho sequer o esquema . Mas vou tentar as hipóteses notando que retirar a placa não me parece a melhor pois também inclui quer essa ligação ao switch e os trimmers de controlo de velocidade.
Assim poderá:
1- reparar a placa , incluindo as pistas queimadas, e alimentar o aparelho com um pequeno transformador externo de 220 para 20V.
mixtronica.com/transformadores-baterias-energia/36679-transformador-alimentacao-220v-20v-1a.html
2- tentar usar como indicou usar alimentador externo. Aqui a dificuldade é ter a certeza de que o circuito/motor funciona com +12v Dc e verificar os pontos onde ligar.
Para ter algo em que me basear precisaria de:
- fotos de qualidade da placa da parte de cima e de baixo.
- identificar os valores dos condensadores eletrostáticos ( capacidade e tensão) , a referencia do díodo zener e do transístor e se possível a tensão/corrente do motor.
Note que seja qualquer a decisão terá de fazer tudo com calma, experimentando, e de acordo com os seus conhecimentos.