Fazem-se coisas bem mais complexas do que mover um motor segundo o peso,como balanças de precisão.

Um exemplo entre muitos.
www.robocore.net/tutoriais/celula-de-carga-hx711-com-arduino

No seu caso bastará , como base ,usar um sensor ( célula de carga) um amplificador diferencial e um transístor de drive para o motor.

E se quer ler um pouco mais aqui tem dois pdf.